Zahlensysteme

Zahlen begegnen uns jeden Tag – oft, ohne dass wir darüber nachdenken. Ob beim Ablesen der Uhrzeit, beim Umrechnen von Währungen oder beim Kochen nach Rezept: Hinter all dem stecken Systeme, die Ordnung in unsere Welt bringen.
Doch warum gibt es verschiedene Zahlensysteme wie das Dezimal-, Binär- oder Hexadezimalsystem?

In diesem Beitrag werfen wir einen Blick auf die Grundlagen von Zahlensystemen und wie sie untereinander umgerechnet werden.

Basis

Die Basis ist die Zahl, auf der ein Zahlensystem oder eine Potenzdarstellung aufbaut. In einem Zahlensystem bestimmt die Basis, wie viele verschiedene Ziffern es gibt und wie Zahlen zusammengesetzt werden:

Im Dezimalsystem (Basis 10) gibt es die Ziffern 0–9 à also 10 Ziffern

Im Binärsystem (Basis 2) gibt es nur die Ziffern 0 und 1 à also 2 Ziffern

Um dies darzustellen, wird die Potenzschreibweise verwendet. Bei dieser ist die Basis die Zahl, welche wiederholt mit sich selbst multipliziert wird. Beispiel hierfür ist:

10² = 10 * 10 = 100

Hier ist 10 die Basis, und 2 der Exponent.

Dezimales Zahlensystem

Das Dezimalsystem ist das Zahlensystem, das wir im Alltag fast überall verwenden. Es basiert auf der Basis 10 – das bedeutet, es gibt zehn verschiedene Ziffern:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Jede Stelle einer Zahl hat einen Stellenwert, der eine Potenz von 10 darstellt:

• die rechte Stelle ist 10⁰ = 1,
• die nächste Stelle links ist 10¹ = 10,
• dann 10² = 100,
• und so weiter.

Daraus ergibt sich in mathematisch korrekter Form:

z_n z_n-1 z₁ z₀

Das klingt nun erstmal verwirrend. An einem Beispiel wird dieses Prinzip jedoch schnell ersichtlich:

Potenzschreibweise der Zahl 472 im dezimalen Zahlensystem. Quelle: Technik-Kiste.de

Binäres Zahlensystem

Das Binärsystem ist das einfachste Stellenwertsystem und basiert auf der Basis 2.
Es gibt also nur zwei Ziffern – nämlich 0 & 1.

Jede Stelle einer Binärzahl steht für eine Potenz von 2:

• die rechte Stelle ist (2⁰ = 1),
• die nächste links ist (2¹ = 2),
• dann (2² = 4),
• dann (2³ = 8), und so weiter.

Umwandlung in dezimale Zahlen

Zur Umwandlung einer binären Zahl kann auf das Wissen von oben zurückgegriffen werden:

Umrechnung der binären Zahl 1011 in eine dezimale Zahl. Quelle: Technik-Kiste.de

💡Hinweis: Um Zahlen besser unterscheiden zu können, wird die Basis bei binären Zahlen am Ende notiert: 1011₂

Umwandlung in binäre Zahlen

Die Umwandlung ist auf dem ersten Blick verwirrend, dennoch sehr schnell eingängig. Es wird zuerst die größte Zweierpotenz (2⁰ = 1, 2¹ = 2, 2² = 4, 2³ = 8, 2⁴ = 16, etc.) gesucht, welche noch in die dezimale Zahl passt. Für die entsprechende Stelle wird eine 1 notiert. Dies wird mit dem verbleibenden Anteil dann fortgesetzt, bis kein Rest mehr übrigbleibt. Jede Potenz, welche nicht hineinpasst, erhält eine 0. Einfach, oder? Keine Sorge, wenn es verwirrend wirkt. Lass dich von folgendem Beispiel erleuchten:

Umrechnung einer dezimalen Zahl 59 in eine binäre Zahl. Quelle: Technik-Kiste.de

💡Hinweis: Nachkommastellen lassen sich auf die gleiche Art darstellen. Nur das die Potenz nach rechts vom Komma aufsteigend und mit einem „-„ versehen ist.

Doch was machen wir, wenn binäre Zahlen zu lang und unübersichtlich werden? Dir ist sicher aufgefallen, dass eine binäre Zahl schnell sehr lang werden kann. In solchen Fällen erfolgt die Darstellung einer Zahl im Hexadezimalsystem.

Hexadezimales Zahlensystem

Das Hexadezimalsystem basiert auf der Basis 16.
Das bedeutet: Es gibt 16 verschiedene Ziffern. Da wir mit den gewohnten 0–9 nur zehn Zeichen haben, werden zusätzlich die Buchstaben A bis F verwendet:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

• A steht für 10
• B für 11
• C für 12
• D für 13
• E für 14
• F für 15

Jede Stelle einer Hexadezimalzahl steht für eine Potenz von 16:

• rechte Stelle: 16⁰ = 1
• nächste links: 16¹ = 16
• dann 16² = 256
• usw.

Umwandlung in dezimale Zahlen

Auch bei hexadezimalen Zahlen kann die bisher bekannte Potenzschreibweise zur Umrechnung verwendet werden. Als Beispiel soll uns hierfür dienen:

Umrechnung der hexadezimalen Zahl 8B1 in eine dezimale Zahl. Quelle: Technik-Kiste.de

💡Hinweis: Meist werden in Programmiersprachen Zahlen in Hexadezimaler Schreibweise durch 0x zu Beginn gefolgt von der eigentlichen Zahl notiert.

Umwandlung von dezimalen Zahlen in hexadezimale Zahlen

Die Umrechnung einer Dezimalzahl in eine hexadezimale Zahl erfolgt durch wiederholte Division durch 16. Dabei wird jeweils der ganzzahlige Rest (Modulo) notiert, der die jeweilige Hexadezimalziffer darstellt:

1. Dezimalzahl durch 16 teilen (Division)
   • Notiere den Rest - also den Modulo (das ist die niedrigste Hex-Stelle, also ganz rechts)
   • Teile den ganzzahligen Quotienten weiter durch 16
2. Wiederhole dies bis der Quotient 0 ist
   • Jeder Rest entspricht einer Hex-Ziffer (0 bis 9 oder A bis F)
   • Lies die Reste von unten nach oben (vom letzten bis zum ersten Rest)

Nimm dir zum Verfestigen der Umwandlung folgendes Beispiel:

Umwandlung der Zahl 1996 in eine hexadezimale Zahl. Quelle: Technik-Kiste.de

Umwandlung in binäre Zahlen

Die Umwandlung einer hexadezimalen Zahl in eine binäre Zahl ist sehr simpel, da sich beide Zahlensysteme direkt ineinander überführen lassen. Es ist hierfür kein Rechnen mit Potenzen nötig. Jede Hex-Ziffer wird in ihren 4-Bit-Wert gewandelt. Folgende Tabelle soll dies illustrieren:

Die einzelnen 4-Bit werden dann aneinandergereiht. Als Beispiel hierfür soll uns folgende Umwandlung dienen:

Umwandlung der Zahl 9C6 in eine binäre Zahl. Quelle: Technik-Kiste.de

💡Hinweis: die Umwandlung einer binären Zahl in eine hexadezimale Zahl ist ebenfalls sehr einfach. Es werden lediglich Vierergruppen gebildet und dann in hexadezimale Zahlen gewandelt.

Rechnen im Binärsystem

Für das Rechnen im Binärsystem gibt es einige einfache Regeln, die sich an denen des dezimalen Zahlensystems orientieren. Zu beachten ist jedoch die Basis 2, statt 10.

Addition im Binärsystem

Die Regeln sind einfach und erinnern an die schriftliche Addition im Dezimalsystem:

• 0 + 0 = 0
• 0 + 1 = 1
• 1 + 0 = 1
• 1 + 1 = 10 (ergibt 0, Übertrag 1)

Schriftliche Addition im Binärsystem. Quelle: Technik-Kiste.de

Subtraktion im Binärsystem

Auch hier gelten einfache Regeln:

• 0 – 0 = 0
• 1 - 0 = 1
• 1 – 1 = 0
• 0 – 1 = 1 mit Übertrag (man „leiht“ sich eine 1 = 2 aus der nächsten Stelle)

💡Hinweis: Es kann jedoch nur „geliehen“ werden, wenn in der nächsten Stelle eine 1 steht, ansonsten wird eine Stelle weiter nach links geborgt.

Schriftliche Subtraktion im Binärsystem. Quelle: Technik-Kiste.de

Multiplikation im Binärsystem

Die Regeln sind besonders leicht:

• 0 * 0 = 0
• 0 * 1 = 0
• 1 * 0 = 0
• 1 * 1 = 1

Die schriftliche Multiplikation funktioniert wie im Dezimalsystem, nur mit diesen einfachen Teilprodukten.

Als erstes wird mit der letzten Ziffer ganz rechts multipliziert und das Ergebnis darunter notiert. Danach wird mit der zweiten Ziffer von rechts multipliziert und das Ergebnis versetzt darunter notiert. Dies wird so lange durchgeführt bis mit jeder Ziffer multipliziert wurde.

Am Ende erfolgt eine Addition aller Teilergebnisse nach den bekannten Regeln.

Schriftliche Multiplikation im Binärsystem. Quelle: Technik-Kiste.de

Division im Binärsystem

Die Division läuft analog zur schriftlichen Division im Dezimalsystem, nur mit den Ziffern 0 und 1.
Man prüft, ob der Divisor in den aktuellen Rest „hineinpasst“ (1) oder nicht (0).

Division zweier binärer Zahlen. Quelle: Technik-Kiste.de